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Costruzione del modello matematico per la soluzione di un problema


Dal quaderno del Seminario organizzato da Mathesis 

Costruzione del modello matematico per la soluzione di un problema 

Nicoletta Altomare1

Francesca Galasso2

Maria Paola Giovine3

Giuseppe Isernia4 

Sunto: Nel lavoro si sottolinea l��importanza dei frequenti riferimenti applicativi a cui l��insegnante ricorre  nell��insegnamento della matematica. In particolare si propongono alcuni esempi di modelli matematici che si desumono da situazioni di vita reale, adatti per una classe di orientamento e che possono anche costituire una proposta per la prova scritta dell��esame di maturit��. 

Abstract: we present some mathematical models from reality, which the teacher can propose to his students in order to prepare them to examination of the last class of the high school. 

Parole chiave: problema, modello, soluzione.

 

Introduzione 
 

"In ogni vasto giardino, nel quale antiche piante

secolari, ricche e rigogliose colture richiamano

sole l'attenzione di chi l'osserva  per la prima volta, esiste

un cantuccio solitario, una serra nascosta, ove l'abile

giardiniere sceglie e cura alcune piante singolarissime,

nelle quali il suo occhio esperto ha ravvisato delle variazioni

e dei caratteri particolari"

IV Congresso internazionale dei matematici,

Roma (6-11-Aprile) 1908 V. Volterra) 
 

Tra le maggiori difficolt�� che gli studenti incontrano nello studio della matematica c���� il divario fra l��astrattezza dei suoi contenuti ed il mondo reale.

Se �� vero, infatti, che la matematica �� nata dalla necessit�� di contare e di misurare, nel corso dei secoli si �� sempre pi�� trasformata in una disciplina astratta.

Tuttavia la sua utilit�� ha allargato il suo campo di studio alle scienze applicate: fisica, biologia, economia e, perch�� no, le scienze sociali, oltre che l��ingegneria, la medicina, la chimica, ��. L��insegnante di matematica, per��, lascia molto spesso agli specialisti, il fisico, il chimico, l��economista la cura degli aspetti pi�� specificatamente applicativi della sua disciplina. L��insegnante che non trascura di presentare agli alunni le applicazioni della matematica, generalmente, persegue l��intento di motivare il loro interesse e migliorare l��informazione sull��utilizzo delle tecniche matematiche nei vari settori della vita produttiva e speculativa. Infatti egli sa che una nozione appresa in astracto �� spesso dimenticata, invece, se lo studio di un concetto �� rafforzato da esempi applicativi pertinenti, sar�� pi�� apprezzato e compreso, e memorizzato con minor sforzo.  

Un esempio:

Un��auto percorre una strada a velocit�� costante, pari a 60 km/h. All��uscita di una curva l��autista scorge un cane fermo in mezzo alla strada ed �� costretto a frenare bruscamente per fermarsi. Supposto che il tempo di reazione dell��automobilista sia trascurabile e che la frenata imprima all��auto un��accelerazione pari a - m/s2, a quale distanza deve trovarsi il cane per non essere investito? 

Soluzione. Si ricordi la legge oraria del moto uniformemente accelerato

    1. .

La (1) �� una funzione nella variabile t, il cui grafico, essendo a<0 �� quello di una parabola con la concavit�� rivolta verso il basso.

t

s(t)

 

 

Figura 0

Derivando la funzione rispetto a t ed eguagliando a 0 tale derivata otterremo il valore di t per cui la velocit�� �� nulla.

Pertanto:

e sostituendo nella (2) i valori noti  
 

L

��

auto si fermer

��

dopo 4 secondi e dopo aver percorso una distanza 

che si ricava, sostituendo nella (1) 4

s

a

t.

Il cane, per non essere investi

to, si dovr

��

trovare ad una distanza superiore a 25

m


 

I modelli

L

��

esempio proposto

��

standard e si possono ricavare numerosissimi altri dai libri di testo di matematica e di fisica in commercio.

In pratica l

��

insegnante induce l

��

allievo a riconoscere in

un contesto fisico un

��

espressione, formula, equazione o funzione che possa essere trattata con gli strumenti della matematica. La soluzione di un problema fisico, si riduce perci

��

alla soluzione di un problema matematico.

Per chiarire meglio che cosa si i

ntenda per soluzione di un problema fisico attraverso la soluzione di un problema matematico

��

utile introdurre il concetto di modello matematico.

Siamo soliti dire che la matematica produce modelli per descrivere situazioni reali.

In generale, se descrivi

amo un pensiero o una situazione con l

��

aiuto delle parole costruiamo un modello che raramente rappresenta tutto il pensiero, ma che astrae dal pensiero i concetti che sono necessari per capire il significato di ci

��

che

��

essenziale esprimere. Questa descri

zione del pensiero pu

��

utilizzare diversi linguaggi: il linguaggio metaforico, il linguaggio grafico, il linguaggio mistico, quello matematico. Se il modello

��

espresso attraverso il linguaggio matematico il modello espresso

��

un modello matematico. Ci ser

viamo di un modello matematico dunque per esplicitare un

��

idea.

La fisica ci insegna che possono esistere differenti modelli per rappresentare uno stesso concetto. Pu

��

essere utile infatti, a seconda della circostanza, utilizzare un modello piuttosto che un

altro: tenere conto di aspetti differenti pu

��

imporre, infatti, di cambiare modello.

Sappiamo che la luce, secondo il modello corpuscolare, pu

��

essere considerata come un flusso di particelle che vengono emesse da una sorgente luminosa e l

��

ottica pu

��

esse

re vista come un caso particolare della meccanica. Il modello ondulatorio stabilisce invece che la luce

��

un

��

onda e quindi, consiste in un trasferimento di energia e non di materia. I due modelli spiegano bene i fenomeni luminosi quali la propagazione rett

ilinea, la riflessione e la rifrazione, arrivano per

��

a conclusioni opposte riguardo alla velocit

��

della luce attraverso due mezzi con indice di rifrazione diverso. Adesso sappiamo che la luce si propaga tanto pi

��

lentamente quanto pi

��

 

��

denso il mezzo att

raverso cui si propaga. Ci

��

condurrebbe ad accreditare la teoria ondulatoria piuttosto che quella corpuscolare. Tuttavia, alla luce dei fenomeni ottici studiati nel secolo scorso e che hanno messo in evidenza le propriet

��

corpuscolari della luce (fotoni),

possiamo certamente dire che entrambi i modelli, corpuscolare ed ondulatorio, hanno ragione di coesistere.

C

��

�� da tener presente, poi, che uno strumento, efficace per lo studio di un modello particolare, si pu�� rivelare inefficace per un altro modello.

Ad

esempio: l

��

analisi matematica

��

uno strumento utile nei modelli fisici, la probabilit

��

 

��

utile in genetica e nel calcolo degli errori, la statistica

��

utile nello studio dei fenomeni che coinvolgono le popolazioni,

��

.

Il processo di modellizzazione

��

un as

petto fondamentale della matematica ed

��

possibile costruire modelli relativamente semplici a partire da situazioni reali.

Si tratta dunque di ripensare gli argomenti della matematica, calandoli in situazioni reali che riescano a coinvolgere l

��

alunno e a

motivarne l

��

interesse. Ci

��

deve avvenire durante tutto il percorso formativo e naturalmente anche durante l

��

anno di orientamento: pertanto si ravvisa la possibilit

��

che anche l

��

esame scritto di maturit

��

presenti problemi costruiti in tal senso. 
 
 
 
 

Dal problema al modello matematico e alla soluzione 

Nella soluzione di un problema occorre innanzi tutto aver presente alcune fasi che aiutano a comprendere il problema e a formulare il modello di soluzione.

  • Che cosa si desidera trovare?

    • Quali sono i presupposti?
    • E�� possibile stabilire opportuni collegamenti tra ci�� che si conosce e ci�� che si desidera conoscere?
    • L�� dove non �� possibile stabilire una connessione diretta fra ci�� che si conosce e ci�� che si desidera conoscere �� possibile stabilire una connessione attraverso l��elaborazione di un sottoproblema?
    • Se la risposta alla penultima o all��ultima domanda �� positiva, il problema ha soluzione, altrimenti �� superfluo procedere.
    • Nel caso in cui si sia stabilito un filo logico che leghi i dati (ci�� che si conosce) con l��incognita (ci�� che vogliamo conoscere), si elabora il ragionamento esprimendo l��incognita in funzione dei dati o delle incognite ausiliarie (incognite dei sottoproblemi che derivano direttamente dai dati originari).
    • Una volta espressa la strategia risolutiva attraverso una formula, una funzione o una equazione, si mette in atto la strategia per giungere al risultato.
     

    Naturalmente l��insegnamento per problemi richiede una buona dose di creativit�� da parte dell��insegnante, che, se accompagnata dall��entusiasmo, da un��ottima conoscenza della materia e dalla consapevolezza che non c���� miglior modo di imparare una cosa che scoprirla da soli, pu�� condurre certamente ad ottimi risultati. Per fare questo non basta per�� guidare l��alunno solo attraverso le informazioni, ma anche attraverso il ��saper come��, l��attitudine mentale ed il lavoro metodico, mettendo in evidenza gli aspetti del problema che possono essere utili nella soluzione di altri problemi e cercando di evidenziare lo schema generale, il modello che sta dietro la situazione presente, al fine di recuperarla, se utile, in altre occasioni. 

    Gli esempi 

    1. Un giardiniere deve costruire una aiuola in un giardino pubblico e ha a disposizione una recinzione di 96 m in ferro battuto. Il progetto del giardino prevede che l��aiuola sia rettangolare. Quali saranno le dimensioni dell��aiuola se si desidera destinare ad essa la massima area possibile?
     

    Soluzione 
     

    x

    b

    Figura 0

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    Dette A l��area del rettangolo di cui si desiderano conoscere le dimensioni, x la base del rettangolo e b la sua altezza, posso esprimere A in funzione di x, tenendo presente che b = 48 - x.

    Risulta infatti 
     
     
     

     

     

     
     

    x

    y

    24

    0

    576

    Figura 0

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    La funzione ha un massimo per i valori di x per cui , pertanto 

    Per x = 24 m, b =48 m – 24 m = 24 m.

    L��aiuola sar�� un quadrato di lato l = 24 m

    1. Un�� antica casa �� in fase dia ristrutturazione ed �� stato ricavato un piano in pi�� da un ambiente dalle pareti molto alte e con le volte ad arco. L��arco in oggetto �� un arco di parabola la cui altezza massima dal pavimento �� di 3 m ed �� calcolata dal punto del pavimento che pu�� essere considerato il fuoco della parabola. Trascurando i problemi relativi alla statica della struttura in oggetto, che si risolvono con la soluzione di equazioni differenziali, si vuole creare una finestra al piano ricavato superiormente, la cui parete esterna �� proprio quella arcuata, in modo da garantire la migliore aerazione possibile del locale.

    Quali dimensioni avr�� la finestra?

    Qual �� la larghezza del pavimento?

     

    Soluzione

     

    Figura 0

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    Quali dimensioni avr�� la finestra? 

    Posso considerare l��arco della casa come la parabola che ha il vertice nel punto pi�� alto della parete e il fuoco nell��origine degli assi cartesiani, coincidente a sua volta col piede della perpendicolare condotta dal vertice al pavimento.

     

     

    x

    yx

    0

    Figura 0

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    Dalle relazioni 

    ,

    poich�� 
     
     


    con semplici calcoli si giunge al risultato 


    L��equazione dell��arco ��: 
     
     

     


     
    Per costruire la finestra di ampiezza massima considero il rettangolo QPHK che ha due vertici sul pavimento, H e K, e due vertici, P e Q sull��arco. L��area del rettangolo QPHK si pu�� considerare come il doppio dell��area del rettangolo OHPT, la cui area �� esprimibile in funzione di x.

    Risulta infatti

    .

    x

    y

    P

    Q

    H

    T

    0

    K

    Figura 6

     

     
       

    Per cui l��area del rettangolo PQHK �� 
     
     

    Tale area �� massima per il valore di x per cui si annulla la derivata  

    Pertanto per la finestra in questione avr�� area massima di Ci�� significa che per costruire la finestra il muratore dovr�� praticare un��apertura della parete esterna alta 2 m e distante dalle pareti laterali circa 2,5 m.

    Qual �� la larghezza del pavimento? 

    Per valutare la larghezza del pavimento ragiono nel seguente modo:

    Posso considerare l��asse delle ascisse come l��intersezione del piano del pavimento con quella del muro esterno.  


     
    Pertanto �� lecito supporre che l��ampiezza del pavimento sia pari alla misura del segmento , vale a dire al doppio dell��ascissa del punto A, intersezione della parabola con l��asse delle ascisse.

    ; ;

    x =  6

    .

    x

    y

    A

    B

    0

    Figura 7

     

     
       

    Il pavimento �� largo 12 m
     

    1. Una sarta deve eseguire una bordura a due tovaglie, una quadrata e l��altra circolare, usando interamente una bordura lunga 12,86 m e utilizzando la minor quantit�� di stoffa possibile.
     

    Soluzione

    Figura 8

     

     
     
     
     
     
     
     
     

     

    Posto per semplicit�� 12,86 m = l, posso pensare che la sarta debba tagliare la bordura di lunghezza l in due parti, lunghe la prima, quanto il perimetro del quadrato e la seconda, quanto la misura della circonferenza della tovaglia, in modo tale che la somma dell��area del quadrato pi�� l��area del cerchio sia la minima possibile. Si tratta di stabilire pertanto la lunghezza del lato del quadrato e il raggio (o il diametro) della tovaglia circolare.

    Detto x il lato del quadrato ed r il raggio del cerchio si avr�� 

 

e dovr

��

essere soddisfatta la condizione 


Pertanto potr

��

esprimere

r

in funzione di

x 
 
 

e sostituendo nella (1) il valore di

r

, scritto in funzione di

x,

risulta 


Tale funzione ha valore minimo per quei valori di

x

che annullano la de

rivata prima, pertanto 
 
 

Ma operando le dovute sostituzioni,  

Ci

��

significa che la sarta, per utilizzare la minor quantit

��

di stoffa e tutta la bordura, la sarta dovr

��

tagliare le tovaglie in modo che il diam

etro della tovaglia circolare misuri quanto il lato della tovaglia quadrata. 
 

  1. Il direttore di un supermercato ha svolto un��indagine di mercato sui dati relativi allo scorso anno di vendite. Egli sa che ponendo per una certa confezione di dentifricio (che costa al supermercato 0,90 €) il prezzo di 1,80 €, ne vender�� 150. Sa inoltre che praticando uno sconto di 10 centesimi di euro su ogni confezione, ne vender�� ben 30 in pi��. A quale prezzo si dovr�� vendere ciascuna confezione di dentifricio se si vuol massimizzare il guadagno? 

    Soluzione

    Sia x lo sconto in euro da effettuare su ogni confezione di dentifricio in promozione. Il guadagno totale �� determinato dal guadagno unitario per  il numero di confezioni vendute. Perci��, poich�� il guadagno unitario �� dato dal ricavo meno la spesa, tenuto conto della minorazione x  del prezzo per la promozione (trascurando l��unit�� di misura) si avr�� che il guadagno unitario ��: 

    1,80-0,90-0,1x=0,9-0,1x. 

    Effettuando per�� la promozione si avr�� un numero di confezioni vendute pari a: 

    (150+30x). 

    Pertanto il guadagno totale pu�� essere espresso nella forma 

    g(x)=(0,9-0,1x)(150+30x

    g(x)=-3x2+12x+13,5.

    Tale funzione ha massimo per i valori di x che annullano la derivata prima, e precisamente per :

    g��(x)=-6x+12=0

    per x=2. Pertanto, per massimizzare il guadagno, si dovr�� praticare uno sconto pari a 0,1x € = 0,12 € = 0,2 €.

     

    1. Il gioco di Ur pu�� essere considerato l��antenato del gioco dell��oca e risale all��antica civilt�� sumera. E�� stato riproposto come gioco per cellulare con alcune varianti.

    Anticamente due giocatori lanciavano tre diversi dadi tetraedrici i cui vertici erano contrassegnati da sferette colorate e non colorate.

     

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    Figura 9

     

     
     
     

    Figura 10

     

    Il numero dei passi del giocatore era determinato dal numero dei vertici colorati che ad ogni lancio si posizionavano superiormente e vinceva il giocatore che compiva il percorso con un numero esatto di passi per uscire dal percorso. 
     


    A

    B

     

                 
                   
          Figura 11

     

           
     

    Supposto che debba giocare il giocatore A, che probabilit�� ha A di vincere con un solo lancio? Nell��ipotesi che A non vinca, che probabilit�� ha B di vincere con un solo lancio? 

    Soluzione

    C

    B

    CC

    CB

    CCC

    CCB

    CBC

    CBB

    BB

    BC

    BCC

    BCB

    BBC

    BBB

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

    Il disegno di un grafo ad albero ci consente di evidenziare tutti i casi possibili che presentano, da cui si ricava semplicemente la soluzione del problema.

    La probabilit�� che vinca A con un solo lancio �� .

    Nell��ipotesi che A non vinca, la probabilit�� che B vinca con un solo lancio �� .

    Ulteriori approfondimenti a questo argomento si possono effettuare con l��uso delle tecnologie, infatti �� possibile simulare il gioco attraverso l��esecuzione di un programma, presentato in appendice. 

    1. L��ispettorato del Ministero della Salute deve effettuare dei controlli sui polli di una certa azienda avicola, per la prevenzione al contagio dell��influenza aviaria. Si  tratta di sottoporre ad analisi sierologia un certo numero di polli a rischio di contagio, si vuole altres�� avere la certezza che le carni di pollo che si immetteranno sul mercato siano esenti dal virus e si desidera ottimizzare i costi di tali accertamenti. (Si tenga presente che attualmente gli accertamenti effettuati avvengono su campioni di polli opportunamente scelti. Questo metodo, per quanto raffinati siano i criteri della scelta del campione, non escludono al 100 % la presenza del virus nelle carni dei polli immessi in commercio).
     

    Costruiamo il modello

    Sia n il numero dei polli a rischio che occorre analizzare. Raggruppiamo gli n polli a gruppi di x ciascuno, o meglio, suddividiamo i polli in gruppi. Per esempio, se n=10.000 e  x=20, avremo gruppi di polli, ciascuno dei quali formato da 20 polli. Preleviamo un campione da ogni pollo di un gruppo; mescoliamo i campioni ed effettuiamo un solo esame. Se questo d�� esito negativo, vuol dire che le 20 polli del gruppo in esame sono tutti sani e non saranno necessarie ulteriori indagini. Se il test d�� invece un esito positivo, si dovr�� eseguire un nuovo test per ciascun pollo di quel gruppo, per individuarne quello o quelli malati. Per renderci conto del vantaggio che questo approccio comporta, indichiamo con q la probabilit�� che un pollo sia sano. Allora �� la probabilit�� che tutti gli x poli di quel gruppo siano sani e perci�� �� la probabilit�� che almeno un pollo sia malato. Il ragionamento vale naturalmente, per ciascun gruppo di polli. Gli esami da effettuare sono allora complessivamente  
     
     

    Per esempio, se si suppone n=10.000, x=20 e  q=0.999, allora

    1- 0.980189 e quindi 698.111. Cio�� sar�� necessario effettuare, mediamente, soltanto 698 esami anzich�� 10.000 con un risparmio di circa il 93 per cento sii costi della prevenzione, ma avendo la certezza del 100 % di individuare i polli malati. 

    I calcoli sono stati da noi eseguiti supponendo x=20 e .  

    Problema da proporre agli alunni 

    Qual �� il numero x che conviene assumere affinch�� il numero dei test sia minimo?  

    Soluzione 

    Il problema si traduce, matematicamente, nel calcolare il minimo della funzione f(x)= . Derivando la f e uguagliando a zero si ha 
     
     

    da cui segue 


    Con l'aiuto del programma Mathematica otteniamo

     

    FindRoot[-x^2*(0.999)^x*Log[0.999]==1,{x,1}]

    {x -> 32.1271} 

     Dunque si avr�� la convenienza maggiore, suddividendo i polli in gruppi di 32 unit�� ciascuno. 

    In tutti i calcoli eseguiti abbiamo ipotizzato q=0.999, ovvero che la probabilit�� che un pollo non sia colpita dalla malattia sia ; un valore tutto sommato poco plausibile dalle notizie in circolazione, in quanto �� certamente poco probabile che un pollo d��allevamento, ahim�� costretto a vivere in assoluta prigionia in batteria, sia contagiato da un uccello migratore malato. Pertanto si pu�� a giusta ragione supporre che q assuma un valore pi�� ottimistico del precedente. Per esempio, se , si ricava: 

    FindRoot[-x^2*(0.99999)^x*Log[0.99999]==1,{x,1}]

    {x -> 316.728} 

    Questa volta sar�� conveniente concentrare i polli a gruppi di 317 ciascuno. Si ricava quindi f(317)= 63.1957. Soltanto 63 esami, anzich�� 10000
     

    1. Dal punto di vista meccanico il cuore umano �� una pompa: il sangue entra nel ventricolo sinistro attraverso la valvola mitrale ed �� rimandato in circolo attraverso la valvola aortica, grazie alla contrazione del muscolo cardiaco.

      Ad ogni contrazione la pressione esercitata dal cuore aumenta in modo pressoch�� lineare dalla pressione distolica minima di circa 80 mmHg (millimetri di mercurio) alla pressione sistolica massima di circa 120 mmHg.

      Il disegno che segue rappresenta schematicamente il funzionamento del ventricolo sinistro ad ogni contrazione. 
       
       

      Flusso sanguigno uscente

      Flusso sanguigno entrante

      Valvola aortica

      P(x)

      x=0

      x = a

      x

      Valvola mitralica

      Area A

      Figura 11

       

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

      Problema da proporre agli alunni 

        Calcolare il lavoro compiuto dal ventricolo sinistro durante una singola contrazione supponendo che il volume del ventricolo si contragga di circa 75 cm3 e che 100 mmHg dine/cm2. 

      Per semplicit�� conveniamo che l��azione del cuore non sia dovuta ad una contrazione muscolare, ma al movimento di un pistone dalla posizione x=0, alla posizione x=a, come mostrato nella figura.

      Indicando con A l��area della superficie del pistone, abbiamo che aA=75. La pressione P(x) conto la quale il pistone lavora, come mostrato dalla figura 2, �� dato da: 
       
       

      120

      80

      P

      0

      a

      x

      Coeff. angolare=

      Figura 12

       

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

        Tenendo conto di queste informazioni e osservando che la forza esercitata dal pistone durante ogni sollevamento �� P(x)A, otteniamo che il lavoro �� espresso da: 
       
       
       
       

         Nel caso di una persona di 70 kg, il cui cuore a riposo pulsa circa 60 volte al minuto, �� facile rendersi conto, con qualche moltiplicazione, che il lavoro compiuto dal suo cuore in 24 ore sarebbe sufficiente a sollevarlo a oltre 120 m d��altezza. 

        Negli esempi di problemi e soluzioni riportati  l��uso dei passaggi matematici unitamente all��interpretazione figurata ha il duplice scopo di risolvere i problemi reali educando  la mente a ragionare con simboli e regole attraverso l��analisi dei  modelli che risultano l��interpretazione dei simboli ed a costruire i modelli senza pensare al significato che i simboli hanno per i modelli. Questa seconda direzione, nata da un��abilit�� creativa,   pu�� permettere di semplificare i procedimenti risolutivi intrapresi con l��altra via. Ad esempio associare grafici ad equazioni �� utile quando si vogliono costruire modelli matematici per spiegare  fenomeni fisici. Adottare il modello del progettista ed analizzare in che modo pu�� procedere per esaminare  processi  ricorrendo a poche formule e a metodi pratici  per risolvere problemi di costruzione, ben pi�� complessi, di un prototipo e comprenderne la funzionalit�� risolvendo problemi di calcolo con modelli matematici pi�� vantaggiosi di quelli  simbolici di derivazione ed integrazione, quando un modello �� esprimibile mediante semplici equazioni. 
       

      Nelle varie fasi di progettazione per produrre materiali ottenuti per trasformazione di prodotti naturali i tecnologi fanno uso di modelli sviluppati da fisici e chimici per ottenere materiali pi�� appropriati a causa delle  caratteristiche diverse assunte nella trasformazione dello stesso materiale. I modelli guidano a prevedere, a suggerire soluzioni prima di verificarle sperimentalmente e sono semplici da usare, non �� necessario conoscere tutta la storia scientifica, ben pi�� complessa, che li ha sviluppati.

      Come esempio di problemi del tecnologo  l risolvibili con le poche conoscenze che si hanno al termine di un percorso di studi si possono prendere in considerazioni i test seguenti  
       

      Appendice 
       

      I programmi che seguono, in linguaggio Pascal, simulano il gioco di Ur del cellulare giocato con 6 dadi tetraedrici. Sono stati realizzati da Michele Liotino, laureando di Informatica .

      La simulazione non �� grafica ma testuale, infatti la partita viene descritta da righe di testo per ogni evento accaduto.

      Il programmi scelgono casualmente il giocatore tra A e B che per primo tirer�� i dadi e determina il giocatore che per primo raggiunger�� la quindicesima casella senza oltrepassarla; �� previsto anche che chi oltrepassa la quindicesima casella  ritorni indietro del numero dei passi eccedenti.

      Il primo programma consente di scegliere un numero a piacere di partite, mostra le mosse delle partite passo per passo, e fornisce la statistica delle vittorie col numero massimo e minimo di mosse per vincere.

      Il secondo programma a differenza del primo non mostra le mosse delle partite passo per passo.

      Con entrambi i programmi, si pu�� provare a simulare un numero elevato di partite (40.000) per mostrare che la percentuale di vittoria, come previsto matematicamente, �� del 50 %. 

      Programma 1 

      Program Dadi;

      uses crt;

      var player,player_min,player_max:char;

          stepA,stepB,dado,mosse_min,mosse_max,n_mosse:byte;

          n_partite,i,win,start:longint;

      begin

        clrscr;

        write('Inserire numero partite: ');

        readln(n_partite);

        mosse_min:=100;

        mosse_max:=0;

        win:=0;

        start:=0;

        randomize;

        for i:=1 to n_partite do begin

          if random(2)=1 then begin

            player:='A';

            inc(start)

          end else player:='B';

          writeln;

          write('Inizia la ',i,'ø partita il giocatore: ',player);

          stepA:=0;

          stepB:=0;

          n_mosse:=0;

          while not(stepA=15) and not(stepB=15) do begin

            dado:=random(6) + 1;

            inc(n_mosse);

            readkey;

            writeln;

            write('Il giocatore ',player,' totalizza ',dado,' e ');

            if player='A' then begin

              stepA:=stepA + dado;

              if stepA > 15 then begin

                stepA:=30 - stepA;

                write('ritorna alla casella ')

              end

              else write('va alla casella ');

              write(stepA);

              player:='B'

            end

            else begin

              stepB:=stepB + dado;

              if stepB > 15 then begin

                stepB:=30 - stepB;

                write('ritorna alla casella ')

              end

              else write('va alla casella ');

              write(stepB);

              player:='A'

            end

          end;

          textcolor(30);

          writeln(' e VINCE!!');

          textcolor(7);

          if player='A' then begin

            player:='B';

            inc(win)

          end else player:='A';

          n_mosse:=n_mosse - (n_mosse div 2);

          if mosse_min > n_mosse then begin

            mosse_min:=n_mosse;

            player_min:=player

          end;

          if mosse_max < n_mosse then begin

            mosse_max:=n_mosse;

            player_max:=player

          end;

          readkey

        end;

        win:=win * 100 div n_partite;

        start:=start * 100 div n_partite;

        writeln;

        writeln('Il giocatore A ha vinto il ',100 - win,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore B ha vinto il ',win,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore A ha iniziato la partita il ',start,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore B ha iniziato la partita il ',100 - start,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore ',player_min,' ha vinto con min ',mosse_min,' mosse');

        writeln('Il giocatore ',player_max,' ha vinto con max ',mosse_max,' mosse');

        readkey

      end. 

      Programma 2

      Program Dadi;

      uses crt;

      var player,player_min,player_max:char;

          stepA,stepB,dado,mosse_min,mosse_max,n_mosse:byte;

          n_partite,i,win,start:longint;

      begin

        clrscr;

        write('Inserire numero partite: ');

        readln(n_partite);

        mosse_min:=100;

        mosse_max:=0;

        win:=0;

        start:=0;

        randomize;

        for i:=1 to n_partite do begin

          if random(2)=1 then begin

            player:='A';

            inc(start)

          end else player:='B';

          stepA:=0;

          stepB:=0;

          n_mosse:=0;

          while not(stepA=15) and not(stepB=15) do begin

            dado:=random(6) + 1;

            inc(n_mosse);

            if player='A' then begin

              stepA:=stepA + dado;

              if stepA > 15 then stepA:=30 - stepA;

              player:='B'

            end

            else begin

              stepB:=stepB + dado;

              if stepB > 15 then stepB:=30 - stepB;

              player:='A'

            end

          end;

          if player='A' then begin

            player:='B';

            inc(win)

          end else player:='A';

          n_mosse:=n_mosse - (n_mosse div 2);

          if mosse_min > n_mosse then begin

            mosse_min:=n_mosse;

            player_min:=player

          end;

          if mosse_max < n_mosse then begin

            mosse_max:=n_mosse;

            player_max:=player

          end

        end;

        win:=win * 100 div n_partite;

        start:=start * 100 div n_partite;

        writeln('Il giocatore A ha vinto il ',100 - win,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore B ha vinto il ',win,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore A ha iniziato la partita il ',start,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore B ha iniziato la partita il ',100 - start,'% dei casi');

        writeln('Il giocatore ',player_min,' ha vinto con min ',mosse_min,' mosse');

        writeln('Il giocatore ',player_max,' ha vinto con max ',mosse_max,' mosse');

        readkey

      end. 
       
       

       

      BIBLIOGRAFIA 

      [1] BARNETT AND ZIEGLER, Applied Calculus for business and economics, life sciences , and social sciences, Dellon Macmillan publishers. 

      [2] LAFORGIA ANDREA, Calcolo Differenziale e Integrale, Accademica, 2002. 

      [3] LAFORGIA ANDREA, Esercizi di Analisi Matematica, Accademica, 2003. 

      [4] POLYA GEORGE, La scoperta matematica. Volume 2��. Capire, imparare e insegnare a risolvere i problemi. Feltrinelli. 

      [5] AMALDI UGO, Fisica 1,2. Zanichelli. 

      [6] AUTORI VARI, Quaderno Mathesis ��Le competenze matematiche fra la scuola e l��universit����. Seminario di lavoro. Barletta, 5-6-7 maggio 2005. Supplemento al periodico di matematiche. 

      [7]  GIOVINE MARIA PAOLA, Lettera matematica pristem, pg. 42-43, �� La mucca �� Pazza? Trattiamola con la matematica��.

      Springer. 
       

      [8]  Michael Hussey , The man-made world- Technology Foundation Corse – The open University, Bletchley


       

       

      1 Liceo Scientifico di Molfetta.

      2 Presidente Mathesis della sezione di Gioia del Colle (Ba).

      3 Liceo Classico ��A. Casardi��, Barletta (Ba).

      4 I.T.I.S. ��Enrico Fermi�� di Barletta.

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